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Armand Borel

Premio Balzan 1992 per la matematica

Per i suoi contributi fondamentali alla teoria dei gruppi di Lie, dei gruppi algebrici e dei gruppi aritmetici, e per la sua instancabile azione rivolta alla qualità nella ricerca matematica e alla propagazione delle nuove idee.

L’importante opera matematica di Armand Borel (1923 – 2003) è imperniata sulla teoria dei gruppi di Lie (nel senso più ampio). Questa teoria occupa, nell’insieme delle scienze matematiche, per i suoi molteplici aspetti e le numerose applicazioni, un posto di prim’ordine, sempre più rilevante, così che i lavori di Borel hanno influenzato fondamentalmente alcune delle scoperte più importanti degli ultimi decenni.
La sua prima realizzazione di grande rilievo è stata quella di applicare ai gruppi di Lie ed agli spazi omogenei delle efficaci tecniche di topologia algebrica messe a punto durante e subito dopo la seconda guerra mondiale da J. Leray, H. Cartan, N. Steenrod ed altri; fra le numerose informazioni raccolte sino ad oggi sulle invarianti coomologiche ed omotopiche dei gruppi di Lie e degli spazi simmetrici, buona parte è frutto delle ricerche di Armand Borel (da solo o in collaborazione con altri).
Dal 1955 Armand Borel si è occupato della teoria dei gruppi algebrici. L’articolo, ormai classico, “Groupes linéaires algébriques” (Annals of Math., 1956) è una pietra miliare nella storia di questa teoria. E’ stato lui, in modo particolare, che ha reso possibile la classificazione (da C. Chevalley) dei gruppi semisemplici su un corpo algebricamente chiuso. In seguito, la teoria “relativa”, molto importante per le applicazioni, nonché i problemi di razionalità e di isomorfismi “astratti” sono stati oggetto di una serie di pubblicazioni (in comune con J. Tits e T. A. Springer).
Nello stesso tempo Borel affrontava e risolveva (con Harish-Chandra e W. Baily) alcuni dei problemi più importanti – e altrettanto difficili – della teoria dei gruppi aritmetici: riduzione, criterio di cocompattezza, “compattificazione di spazi quozienti”.
Da una ventina di anni si occupa della coomologia dei gruppi aritmetici, delle sue applicazioni (in particolare alla K-teoria), dei diversi nuovi aspetti delle teorie coomologiche (coomologia L2, coomologia di intersezione) nonché della teoria delle funzioni automorfe e delle rappresentazioni lineari infinite dei gruppi di Lie reali e p-adici. In ciascuno di questi campi ha contribuito con degli apporti essenziali.
Un tratto saliente della produzione scientifica di Armand Borel si segnala nel carattere sistematico e per così dire definitivo dei suoi contributi a numerose e svariate questioni, sempre importanti e difficili.
Dei circa 145 articoli scritti da Armand Borel quelli apparsi prima del 1982 sono stati raccolti in 3 volumi di “Collected Papers”, pubblicati nel 1983 dal Springer-Verlag. Borel è anche autore dei seguenti lavori:
– Ensembles fondamentaux pour les groupes arithmétiques et formes automorphes, annotazioni di un corso tenuto all’Inst. H. Poincaré 1964, redatte da H. Jaquet, J.-J. Sansuc e B. Schiffmann, Ecole Normale Supérieure, Parigi 1967;
– Introduction aux groupes arithmétiques, Actualités Sci. md. no. 1341, Hermann, Parigi 1969;
– Linear Algebraic groups (Annotazioni di H. Bass), Math. Lecture Notes Series, Benjamin Inc. New York, 1969; Y edizione interamente riveduta e ampliata, Springer-Verlag 1991;
– Représentations de groupes localement compacts, Lect. Notes Math. 276, 1972.
Ma il posto che Armand Borel occupa nel campo delle scienze matematiche contemporanee non è unicamente dovuto all’alto valore dei suoi lavori. Agevolato dalla sua posizione eccezionale in seno all’Institute for Advanced Study e grazie ad una capacità di lavoro fuori dal comune, egli ha, nella vita internazionale dei matematici, una parte decisiva di organizzatore, incitatore e propagatore di nuove idee. In particolare è stato più volte il factotum di seminari e scuole estive ove venivano esposti a più alto livello concetti di attualità. Grazie alla sua instancabile attività, diversi di questi seminari hanno dato luogo a raccolte di atti in volumi ai quali ha contribuito personalmente e che sono ormai oggetto di riferimento di base sugli argomenti in questione.

Segnaliamo:
– Seminar on transformation groups (Princeton, 1958-59), Annals of Mathematical Studies no. 46, Princeton University Press, 1960;
– Algebraic groups and discontinuous subgroups (A.M.S. Summer School, Boulder, 1965, ed. A. Borel – G.D. Mostow), Proc. Symposia Pure Math., no. 9, 1966;
– Seminar on algebraic groups and related finite groups (Princeton, 1968-69), Springer Lecture Notes in Math. no. 131, 1970;
– Automorphic forms, representations and L-functions (A.M.S. Summer School, Corvallis, 1977, ed. A. Borel – W. Casselman), Proc. Symp. Pure Math., no. 33, 1979;
– Continuous cohomology, discrete sub groups and representations of reductive groups (Princeton, 1978-79, ed. A. Borel – N. Wallach), Annals of Math. Studies no. 94, Princeton University Press, 1980;
– Intersection cohomology (Berna, 1983), Progress in Math. vol. 50, Birkhäuser Verlag, 1984;
– Algebraic D-modules (A. Borel ed altri), Perspectives in Math. no. 2, Academic Press, 1987.