États-Unis/Suisse

Armand Borel

Prix Balzan 1992 pour les mathématiques

Pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action continue en faveur de la qualité dans la recherche mathématique et de la propagation des idées nouvelles.

L’œuvre mathématique considérable d’Armand Borel (1923 – 2003) est centrée sur la théorie des groupes de Lie (au sens le plus large). Par ses multiples aspects et ses nombreuses applications, cette théorie a pris, dans l’ensemble des mathématiques, une place croissante, de sorte que les travaux de Borel ont influencé de faon majeure quelques-unes des découvertes les plus importantes de ces dernières décennies.
Sa première grande réalisation a été l’application aux groupes de Lie et aux espaces homogènes des puissantes techniques de topologie algébrique mises au point pendant et juste après la deuxième guerre mondiale pari. Leray, H. Cartan, N. Steenrod et d’autres; parmi les renseignements nombreux dont on dispose à l’heure actuelle sur les invariants cohomologiques et homotopiques des groupes de Lie et des espaces symétriques, une bonne part est le fruit des recherches d’Armand Borel (travaillant seul ou en collaboration).
A partir de 1955, celui-ci s’est intéressé à la théorie des groupes algébriques. L’article, désormais classique, “Groupes linéaires algébriques” (Annals of Math., 1956), fait date dans l’histoire de cette théorie. En particulier, c’est lui qui a rendu possible la classification (par C. Chevalley) des groupes semi-simples sur un corps algébriquement clos. Plus tard, la théorie “relative”, d’une grande importance pour les applications, et les problèmes de rationalité et d’isomorphismes “abstraits” ont fait l’objet d’une série de publications (en commun avec J. Tits et T. A. Springer).
Au même moment, Borel abordait et résolvait (avec Harish-Chandra et W. Baily) quelques-uns des problèmes les plus fondamentaux – autant que difficiles – de la théorie des groupes arithmétiques: réduction, critère de cocompacité, compactification des espaces quotients,…
Depuis une vingtaine d’années, il s’est intéressé à la cohomologie des groupes arithmétiques, à ses applications (notamment à la K-théorie), à divers aspects nouveaux des théories cohomologiques (cohomologie L2, cohomologie d’intersection), ainsi qu’à la théorie des fonctions automorphes et aux représentations linéaires infinies des groupes de Lie réels et p-adiques. A chacun de ces domaines, il a apporté des contributions essentielles.
Un trait marquant de la production scientifique d’Armand Borel est le caractère systématique et, pour ainsi dire, définitif de ses contributions à des questions nombreuses, variées, toujours importantes et difficiles.
Des quelques 145 articles écrits par Borel, ceux parus avant 1982 ont été réunis en 3 volumes de “Collected Papers” publié en 1983 par Springer-Verlag. Borel est aussi auteur des ouvrages suivants:
– Ensembles fondamentaux pour les groupes arithmétiques et formes automorphes, annotazioni di un corso tenuto all’Inst. H. Poincaré 1964, redatte da H. Jaquet, J.-J. Sansuc e B. Schiffmann, Ecole Normale Supérieure, Parigi 1967;
– Introduction aux groupes arithmétiques, Actualités Sci. md. no. 1341, Hermann, Parigi 1969;
– Linear Algebraic groups (Annotazioni di H. Bass), Math. Lecture Notes Series, Benjamin Inc. New York, 1969; Y edizione interamente riveduta e ampliata, Springer-Verlag 1991;
– Représentations de groupes localement compacts, Lect. Notes Math. 276, 1972.
Mais la place d’Armand Borel dans les mathématiques contemporaines n’est pas seulement due à la valeur de ses travaux. Aidé par la position exceptionnelle qu’il occupe à l’Institute for Advanced Study et par une puissance de travail hors du commun, il a joué dans la vie mathématique internationale un rôle éminent d’organisateur, d’incitateur et de propagateur des idées nouvelles. En particulier, il a été, à maintes reprises, la cheville ouvrière de séminaires et d’écoles d’été où des sujets d’actualité ont été exposés au plus haut niveau. Grâce à son inlassable activité, plusieurs de ces séminaires ont donné lieu à des volumes d’actes auxquels il a lui-même contribué el qui sont désormais des références de base des sujets en question. Citons:
– Seminar on transformation groups (Princeton, 1958-59), Annals of Mathematical Studies no. 46, Princeton University Press, 1960;
– Algebraic groups and discontinuous subgroups (A.M.S. Summer School, Boulder, 1965, ed. A. Borel – G.D. Mostow), Proc. Symposia Pure Math., no. 9, 1966;
– Seminar on algebraic groups and related finite groups (Princeton, 1968-69), Springer Lecture Notes in Math. no. 131, 1970;
– Automorphic forms, representations and L-functions (A.M.S. Summer School, Corvallis, 1977, ed. A. Borel – W. Casselman), Proc. Symp. Pure Math., no. 33, 1979;
– Continuous cohomology, discrete sub groups and representations of reductive groups (Princeton, 1978-79, ed. A. Borel – N. Wallach), Annals of Math. Studies no. 94, Princeton University Press, 1980;
– Intersection cohomology (Berna, 1983), Progress in Math. vol. 50, Birkhäuser Verlag, 1984;
– Algebraic D-modules (A. Borel ed altri), Perspectives in Math. no. 2, Academic Press, 1987.