Belgique/États-Unis

Pierre Deligne

Prix Balzan 2004 pour les mathématiques

Pour ses contributions majeures à plusieurs domaines importants des mathématiques (tels que la géométrie algébrique, la théorie des nombres – analytique ou algébrique –, la théorie des groupes, la topologie, la théorie des motifs à la Grothendieck) et leur enrichissement par l’introduction de techniques nouvelles et puissantes, ainsi que par des résultats de toute beauté, tels que, par exemple, sa démonstration spectaculaire de l’hypothèse de Riemann sur les corps finis (conjectures de Weil).

Pierre Deligne s’est fait connaître très tôt dans le monde mathématique par sa brillante démonstration des “conjectures de Weil”, qui concernent le nombre de solutions de systèmes de congruences polynomiales (une partie de ces conjectures est ce que l’on appelle aussi l’“hypothèse de Riemann sur les corps finis”). Ces conjectures étaient particulièrement difficiles à approcher (les meilleurs spécialistes, dont A. Grothendieck, y avaient travaillé), et elles présentaient un grand intérêt en raison des importantes conséquences qu’elles impliquaient. La démonstration de Pierre Deligne a fait l’objet de deux articles devenus aussitôt célèbres, totalisant environ 150 pages des “Publ. Math. I.H.É.S.” (1974 et 1980); elle utilise une vaste gamme de techniques aussi diverses que difficiles. Elle est considérée comme un tour de force par tous les experts et a valu à son auteur la Médaille Fields en 1978. Cette réussite, pour spectaculaire et importante qu’elle soit, n’est que l’une d’une longue série de contributions de même calibre, dont le trait commun est la variété des techniques mises en œuvre et l’originalité des méthodes.

Parmi les résultats de ces recherches, certains sont d’un abord relativement aisé en ce sens que les énoncés (sinon les démonstrations!), toujours d’une clarté exceptionnelle, peuvent être compris par tout mathématicien de profession. Ce sont par exemple: l’irréductibilité de l’espace des courbes algébriques de genre donné (travail en commun avec D. Mumford, 1969); la définition des “immeubles des groupes de tresses généralisés” et leurs applications (1972); une nouvelle solution du 21e problème de Hilbert (début des années 1970); un travail commun avec G. Lusztig, très souvent cité par les théoriciens des groupes finis, sur les représentations linéaires des groupes finis simples du type de Lie (“Annals of Mathematics”, 1976); la découverte d’une remarquable extension centrale du groupe de points rationnels d’un groupe réductif sur un corps F par le groupe K₂ (F) (décrite pour la première fois en 1977-1978 dans un séminaire resté inédit et étudiée en détail dans les “Publ. Math. I.H.É.S.” en 1996); un travail en collaboration avec G. Mostow sur la monodromie des fonctions hypergéométriques (1986), etc.
D’autres résultats, plus techniques mais toujours très profonds, créent des instruments nouveaux et devenus indispensables en géométrie algébrique. Citons seulement quelques titres (on en trouvera d’autres dans la bibliographie): La théorie de Hodge, II et III (deux articles fondamentaux parus dans les “Publ. Math. I.H.É.S.” en 1971 et 1974, 52+72 pp.); Le Symbole modéré (ibid. 73, 1991, 147-181); Faisceaux pervers, en collaboration avec A.A. Beilinson et J. Bernstein (“Astérisque”, 100, 1983, 5-171); Catégories tannakiennes (The Grothendieck Festschrift, vol. II, 1990, 11-195); À quoi servent les motifs? (dans Motives, “Proc. Symp. Pure Math.”, 55, 1, A.M.S., 1994, 143-161: les motifs sont une notion conjecturale crée par Grothendieck à la fin des années 60, riche d’implications remarquables et souvent illustrée par Pierre Deligne), etc.

Une caractéristique de la pensée de Pierre Deligne, outre son extraordinaire créativité, consiste en ce que, chaque fois qu’il est confronté à un problème nouveau ou à une nouvelle théorie, il en assimile les concepts de base à une vitesse stupéfiante et est aussitôt en mesure de discuter le problème ou d’utiliser la théorie comme s’il s’agissait d’un objet parfaitement familier. D’ailleurs, lorsqu’il discute avec d’autres mathématiciens, il adopte volontiers et sans la moindre difficulté le langage de ses interlocuteurs. Cette extraordinaire souplesse est l’une des raisons de l’universalité de ses travaux mathématiques.

Pierre Deligne a écrit, seul ou en collaboration, une centaine d’articles, souvent longs. Etant donné l’extrême concision de son style et son habitude de ne jamais se répéter (nombre de ses meilleures idées n’ont même jamais été écrites!), le volume de ses publications est une vraie mesure de la richesse de son œuvre.