Intervista a Enrico Bombieri 05.06.2014

USA/Italia

Enrico Bombieri

Premio Balzan 1980 per la matematica

Per i suoi studi sulla teoria dei numeri e sulle superfici di area minima, si pone con le sue ricerche e la sua produzione scientifica all’avanguardia nel panorama della matematica contemporanea.

Intervista di Susannah Gold con Enrico Bombieri, Premio Balzan 1980 per la matematica, realizzata all’Institute for Advanced Study di Princeton – New Jersey

Come cambia la matematica? Qual è il suo ruolo attuale? Come viene percepita o dovrebbe esserlo? 
Sono domande che i non specialisti si possono porre quando vedono che i sistemi complessi del mondo moderno (tecnologici, ma anche economici e naturali) sono sempre più riferiti a modelli matematici, altrettanto complessi.
Il Premio Balzan, in 50 anni, ha seguito l’evoluzione di questa materia fondamentale premiando sette grandi matematici; un ottavo riceverà il Premio nel 2014, perciò abbiamo posto queste domande al capofila: il Premiato del 1980 Enrico Bombieri.
Ne è nato un dialogo affascinante, che continuerà con l’ultimo premio Balzan per la matematica: Jacob Palis.
Enrico Bombieri, nato a Milano, professore emerito di matematica all’Institute for Advanced Study di Princeton, è considerato uno dei più grandi matematici contemporanei.
Nel mese di ottobre del 2008, Bombieri ha svolto una Balzan Lecture a  Washington DC, presso la Carnegie Institution for Science, dove ha discusso sui cambiamenti e sull’evoluzione del concetto di “verità” in matematica. 

Gli abbiamo chiesto se ritiene che certi modelli di matematica applicata possano essere considerati “veri”, nonostante la loro incapacità di prevedere le crisi finanziarie degli ultimi sette anni.
Non ci si può aspettare che i modelli matematici, per quanto abbiano un senso dal punto di vista logico, siano idonei a capire qualcosa. I modelli non possono prevedere tutto delle crisi che abbiamo visto, perché la formulazione di modelli fatta su deviazioni standard [o indice di dispersione di una misura sperimentale, ndt] funzionano bene solamente in una finestra temporale molto breve.  Gli eventi eccezionali sono gravosi e sono più frequenti di quanto le normali statistiche potessero immaginare.
I metodi consueti non si possono applicare. Gli eventi esterni alla statistica, che sono molto rari, si trovano invece ad essere non così eccezionali come ci si potrebbe aspettare dall’applicazione dei modelli matematici consueti, oltretutto la natura di questi eventi è molto varia. Una modellazione tramite computer non riesce a simulare questi eventi; richiederebbe troppo tempo. Un gruppo di matematici, negli anni ’60, ha scoperto che si può ricalibrare gli eventi e accelerare il tempo, e che potevano perciò creare, con il computer, modelli di eventi rari in modo realistico. 
La matematica applicata non valuta un fenomeno come il trading finanziario ad alta frequenza nell’ottica di effettuare previsioni economiche a lungo termine.
Chi effettua transazioni ad alta frequenza gioca su una leva finanziaria elevata, che analizza in una frazione di secondo le quotazioni delle reti di transazione nel loro complesso, sfruttando questo meccanismo per avere, in tempo rapidissimo,  piccoli profitti che alla fine, sommati, danno un profitto enorme. Le statistiche standard non  possono essere applicate nei modelli economici in modo realistico  per capire gli effetti complessivi di questi metodi inusuali di operare sul mercato.

Ci sono limiti alla matematica applicata, come suggerisce Hardy nel suo saggio “A Mathematicians Apology” che Bombieri ha citato nella sua lecture del 2008: “La maggior parte delle cose prodotte dai capricci di un matematico applicato dovrebbero essere respinte non appena vengono create, per la semplice e cruda ragione che non si accordano ai fatti“.
Qual è il suo punto di vista sul rapporto tra matematica e computer?
I computer non sostituiranno la matematica, così come la stampa non ha rimpiazzato gli scrittori e i poeti. Il ruolo dei computer è motto positivo per i matematici, specialmente quelli che studiano cose complesse che richiedono uno spazio dove le dimensioni tendono all’infinito.  Per esempio nei numeri primi, dove c’è stata una grande svolta.
I computer possono anche studuare aggregate di particelle, e il loro aiuto è necessario perché ci sono troppe particelle per essere studiate una per una, per esempio i granelli di sabbia, gli ammassi di pietre e le molecole di acqua. Qui la branca della matematica detta “combinatorial” è molto importante. Il lavoro con i computer ha anche ampliato le possibilità di fare previsioni sul comportamento dei grandi sistemi.
I computer possono anche aiutare a prevedere il comportamento di funzioni esotiche, come mostra l’ipotesi di Riemann. I matematici non sono stati capaci di risolvere quell’ipotesi, ma i computer possono verificarla su una scala numerica molto grande e provare che per tutti gli scopi pratici essa può essere considerate corretta. Sarebbe impossibile calcolare a mente più di qualche migliaio di soluzioni dell’equazione di Riemann. D’altro canto, lavorando con network di computer le possibilità si ampliano  immensamente. È quello che si chiama oggi “cloud computing”. Il mostruoso supercomputer dei racconti di fantascienza non è pratico: viene rimpiazzato da network di computer piccoli. I problemi possono essere distribuiti e si può così studiare la parte logica della matematica. Sta per essere sviluppato un nuovo linguaggio del computer che può essere usato pr verificare una logica coerente all’interno di una serie di parole. La verifica di certe prove può anche essere fatta dal  computer, anche se non arriva ancora al punto di trovarle, le prove. Questo  era stato verificato in uno studio matematico estremamente importante, lungo più di 300 pagine, fatte per provare un teorema di base utile per capire le simmetrie. La verifica della correttezza delle prove andava oltre ciò che una singola persona potesse fare. Lo studio è stato verificato dai computer e si è trovato che esso era corretto dall’inizio alla fine; solo da un punto di vista tecnico un risultato supplementare era stato utilizzato prima che fosse verificato: un difetto nella presentazione logica dello studio, ma non nella sua logica interna. Si è raggiunto così un grande traguardo, perché lo studio era estremamente difficile ed è stato utilizzato ripetutamente come una chiave di volta per lavori successivi. Certi settori della matematica non usano i computer. Essi lavorano con discrezione e non si applicano direttamente nei modelli continui della dinamica dei fluidi, per esempio. La matematica applicata permette di vedere se il modello è elegante mentre i computer possono aiutare a vedere se il modello che si sta usando è realistico o no. Ti possono aiutare ad adattare il tuo modello alla realtà.

Cosa pensa dell’informatica quantistica?
Quello quantistico è un sistema logico diverso e l’informazione viene trasmessa in modo altrettanto diverso. Per esempio: l’atto di leggere un’informazione può distruggerla. La teoria è molto complessa; il mondo quantistico è differente da quello normale e la nostra percezione del mondo fisico non vi trova facilmente posto. Nell’informatica quanitstica si può fare tutto con velocità estrema, ma ci sono cose che nel mondo quantistico entrano.
Questo ha certamente un forte impatto sulla teoria della complessità, cioè lo studio di quanto un computer sia efficiente. Ma nessuno realmente sa come fare previsioni nella teoria dei quanti o delle stringhe.
I matematici superspecializzati, che lavorano in una direzione sola, stanno scomparendo e quello che stiamo intravedendo è una matematica che richiede nello stesso tempo una quantità di differenti campi e tecniche. Questo si sta verificando da venti anni a questa parte: il mondo sta cambiando per via della comunicazione istantanea. Questo vuol dire che più informazione è disponibile in tempo reale. Una persona non può fare da sola tutto ciò che serve, ma la ricerca in certi campi può essere fatta da gruppi di persone che lavorano sullo stesso oggetto indipendentemente ma che condividono i risultati in tempo reale.
È stato messo in pratica dal progetto Polymath di due recenti vincitori della Medaglia Fields, con buoni risultati.
Non posso predire cosa avverrà, perché i matematici, pure, devono prendere in considerazione idee innovative che richiedono lunghi, profondi ragionamenti volti a formulare le domande giuste, tuttavia nel nostro mondo “esibisci o sparisci” ciò può essere un problema. Per esempio: c’è la visione di una nuova teoria chiamata “Langlands program” che ci ha messo 30 anni ad essere esplorata. Devi amare proprio la materia per essere un matematico del tipo Langland e avere un sacco di pazienza! Il successo non arriva subito.

Ancora nella Lecture del 2008 alla Carnegie, lei ha detto che la matematica è, in un certo qual modo, darwiniana, poiché vi sono alcune teorie che sopravvivono e altre no. È possible, oggi, capire quali modelli sopravviveranno e quali no?
Ci sono due tipi di matematica: quella che si può dimostrare in un sistema logico e quella che si cerca di fare risaltare come significato. 
Tu vedi il significato non solamente come una collezione di singole affermazioni ma cogliendo le relazioni tra esse. Un buon esempio è la teoria dei gruppi di Lie, una simmetria continua usata in fisica per descrivere il mondo delle particelle; si può studiarla come una teoria a sé stante ma, quando si guarda alle sue applicazioni, si scopre che esse sono molto importanti tanto in fisica quanto nella teoria dei numeri, in analisi e nella teoria delle probabilità.
Il ruolo del matematico è di scoprire cosa è interessante e le ragioni che potrebbero apparire evidenti negli stessi problemi.
Oggi certi problemi non sono più interessanti per me, ma in futuro potrebbero essere l’inizio di qualcosa di importante. Non bisogna essere troppo categorici.
C’è una fondamentale unità in matematica. Quello che si sta cercando è il ruolo basilare della logica, che sta diventando sempre più importante ed aiuta a spiegare perché certi problemi sono così difficili da risolvere, specialmente quando il sistema si allarga.
In un sistema logico sufficientemente piccolo la verità o la falsità di un’asserzione può essere controllata. Tuttavia, in ogni sistema logico sufficientemente grande vi sono asserzioni vere che non possono essere provate. Questo ti fa salire a un livello più alto di ragionamento, e può anche non bastare. Ci sono affermazioni nella matematica di base la cui verità o falsità non si può decidere. Non c’è un metodo universale per determinare se un’asserzione matematica sia decisamente vera o no. L’idea della matematica come una collezione di asserzioni vere è incompleta.

Qual è il suo pensiero sul ruolo della bellezza in matematica? C’è una relazione tra la bellezza di un teorema e la sua applicabilità?
In generale i matematici sono d’accordo sul fatto che esista bellezza nella struttura di un teorema e nelle prove, anche se per lo più è visibile solo agli stessi matematici.  Io ho partecipato a un’esperimento artistico nel quale a dieci matematici e fisici fu richiesto di produrre una formula di loro invenzione che essi stessi consideravano bella; la formula, poi, è stata resa in forma di opera d’arte, in questo caso come incisione a tiratura limitata.
L’opera d’arte consisteva nel tutto delle dieci formule, non solamente nelle single formule. Le nostre equazioni sono state appaiate a spiegazioni; io ho fatto la mia su un problema di simmetrie, i cosiddetti Gruppi di Ree. Il problema era bellissimo, la risposta prevista era anche semplice, la via per risolverlo – dapprima – impossibilmente difficile (nessun computer dell’universo potrebbe farlo direttamente!), ma, con una soluzione sorprendente, fu allora stupenda.  Le “impossibilmente difficili” equazioni di Thompson hanno un interno segreto di bellezza perché riflettono le proprietà  del gruppo e, alla fine, viene sbloccata la loro bellezza.
La matematica è in qualche modo simile a un progetto artistico. Quando tu scrivi una formula dotata di significato può essere un pezzo d’arte con due pagine di spiegazioni. Altre volte c’è bellezza nel punto d’inizio, una bellezza segreta che emerge nella risposta. La bellezza è importante e penso che è qualcosa di intrinseco alla matematica. Sì, la bellezza ha un ruolo, ma non deve essere vista in modo superficiale e smarrire il contenuto. Anche questo può capitare. La bellezza segreta può essere scoperta. L’ipersemplificazione può essere anch’essa un rischio. 

Vede un filo conduttore tra i vincitori del Premio Balzan per la matematica, da Andrej Kolmogorov (1962) a lei (1980), a Jean-Pierre Serre (1985), Armand Borel (1992), Mikhail Gromov (1999), Pierre Deligne (2994) e Jacob Palis (2010)?
Tutti questi premiati sono straordinari. Borel, Gromov, Serre e Deligne nello sviluppo dell’algebra e della geometria. L’algebra era di solito uno strumento della geometria, ma ora è un grande campo con applicazioni in ogni direzione. L’algebra e la geometria non sono più aree distinte dalla matematica. 
Kolmogorov e Palis sono due grandi esempi nello studio dell’analisi. Hanno affrontato I sistemi dinamici e hanno creato nuovi problemi e nuove domande che richiedono risposte molto profonde. Il loro interesse si è soffermato su come il mondo si trasforma.
Serre è stato un mentore per me, e in realtà è stato quello che mi ha scoperto nel 1964; mi ha reso possible iniziare la mia carriera a un livello veramente internazionale. Serre ha trovato un nuovo modo di considerare la geometria algebrica, trasformandola completamente dalla sua fisionomia iniziale.
I miei studi di geometria devono molto a lui.
Tutti i premi riflettono i nuovi modi di pensare la matematica e tutti quei lavori che hanno applicazione nella fisica e nell’informatica. La teoria dei sistemi dinamici ha trovato sbocco perfino nelle previsioni meteorologiche.
La Fondazione Balzan è molto coerente nella sua politica. È molto diversa dagli altri premi che vengono attribuiti in base all’età (medaglia Fields) o ai risultati ottenuti nella vita (Abel, etc).
Il Premio Balzan sceglie con molta attenzione, di volta in volta, precisi campi  su cui attrae attenzione; in certi casi questi campi o materie sono molto specifici e dettagliati. È un’idea interessante, questa, che non ho visto in altri premi. Sono stato veramente sorpreso di vincerlo, anche se lo avevo già sentito nominare.

Susannah Gold