Discorso di ringraziamento – Berna, 16.11.1999

Francia/Russia

Mikhael Gromov

Premio Balzan 1999 per la matematica

Per i molteplici, profondi e originalissimi contributi dati alla geometria in tutte le sue forme e per le applicazioni che ne ha fatto in molti altri campi della matematica e della fisica teorica.

Signora Presidente,
Membri della Fondazione Balzan,
Signore e Signori,   

Il premio conferitomi dalla Fondazione Balzan è la dimostrazione che alla matematica viene riconosciuto il ruolo di componente essenziale della nostra cultura e di anello di congiunzione fra diverse discipline scientifiche. È un grande onore per me essere stato scelto a rappresentare – come vincitore del premio – la comunità dei matematici.

La matematica è la più antica impresa intellettuale dell’umanità, cristallizzatasi in un sistema logico intorno al 300 a.C., ad Alessandria, con l’apparizione degli Elementi di Euclide.

La geometria, scrupolosamente custodita e sviluppata dai matematici nel corso dei secoli, si è trasformata in un albero con molti rami di stupefacente armonia strutturale, nutrita da simmetrie inaspettate, inerenti al mondo della matematica e della fisica. Il potenziale del linguaggio geometrico, intuito da Galileo Galilei e pienamente manifesto nei Principi matematici di Newton, continua ancora oggi a fungere da motore per la fisica moderna, dalla teoria della relatività alla teoria delle stringhe.

Il mondo esterno strutturato in spazio geometrico consiste di oggetti chiaramente distinguibili, registrando e contando i quali siamo approdati all’aritmetica, che ci ha infine rivelato una struttura moltiplicativa dei numeri incredibilmente profonda e complessa, radicata negli algoritmi di Euclide e nella natura infinita dei numeri primi. A poco a poco, le regole dell’addizione hanno portato all’analisi lineare e alla teoria delle probabilità, che sono i fondamenti del pensiero razionale in meccanica quantistica, nelle scienze naturali, in economia, e nella vita quotidiana della società moderna.

In generale, il compito della matematica e dei matematici consiste nell’esprimere le regolarità visibili nel mondo fisico e intellettuale e nel trovare nuovi modelli strutturali non percepibili dall’intuizione diretta e dal senso comune.

Permettetemi di illustrarvi due esempi che hanno a che vedere con il mio campo d’attività. Cominciamo con la nozione corrente di “distanza”, riferita a due oggetti, due stati di un sistema fisico o biologico, o due idee astratte più o meno lontane fra loro. In questo caso, un matematico parlerebbe di uno spazio astratto degli oggetti in questione, detti “punti”, e considererebbe la distanza come l’attribuzione di un determinato numero positivo a ogni coppia di punti nello spazio. Nello spazio tridimensionale che tutti conosciamo, la distanza fra due punti è data dalla misura del segmento più corto che li collega. Ma questa nozione avrebbe un valore puramente accademico se abitate in una zona montuosa, dove una definizione di distanza senz’altro più appropriata sarebbe la lunghezza del percorso più breve esistente fra due luoghi assegnati.

Un esempio più astratto è offerto dalla linguistica matematica: in questo caso, i nostri punti sono delle frasi, vale a dire sequenze di lettere, ad esempio quelle dell’alfabeto inglese. Ora, supponiamo che vogliate definire la distanza fra due frasi. Naturalmente, la definizione deve essere adatta allo scopo che avete in mente. In questo caso, una definizione estremamente semplice ma altrettanto utile è fornita dalla metrica di Hamming, secondo cui si prendono in considerazione frasi di una determinata lunghezza – diciamo, ad esempio, esattamente di cento lettere. La distanza fra due frasi di questo tipo si misura contando le posizioni in cui esse presentano lettere diverse.

Supponiamo ora di avere davanti a noi uno spazio metrico di questo tipo, vale a dire una collezione di numeri che rappresentano le distanze. Come possiamo ottenere un’immagine geometrica partendo da questi numeri? Supponiamo, ad esempio, di isolare 10³ punti su una zona montuosa e scrivere una tabella di 10⁶ numeri corrispondenti alle distanze (più precisamente (10⁶ – 10³)/2, in quanto la distanza è simmetrica e si annulla su punti identici). Possiamo determinare, ad esempio, le dimensioni del monte più alto semplicemente concentrandoci su questi 106 numeri? Oppure, disponendo di due tabelle cosiffatte, siamo in grado di dire se i due paesaggi sono simili o se invece sono diversi?

Quest’ultima domanda ci introduce al livello d’astrazione successivo: abbiamo bisogno di definire una distanza fra spazi metrici assegnati. Dunque, gli spazi stessi sono considerati come punti, che tutti insieme formano un grande oggetto astratto, lo spazio degli spazi metrici. Ma per quanto astratto possa sembrare, non possiamo fare a meno di occuparci di questi spazi nella matematica pura nonché nelle sue applicazioni. Ad esempio, se volessimo creare un programma informatico in grado di distinguere i volti umani o le espressioni del volto, dovremmo codificare ogni volto mediante una tabella di numeri, ad es. immaginandolo come una specie di paesaggio con la distanza definita dal percorso più breve. Dopodiché, dovremmo definire in qualche modo intelligente una nozione di distanza fra i volti. Il programma deve dirci se due volti, convertiti in spazi metrici, si assomigliano o meno. Naturalmente, non potremmo lavorare direttamente con i numeri. Nemmeno nello spazio linguistico saremmo in grado di scrivere tutti i numeri necessari: sono circa 26²⁰⁰ – molti di più di tutte le particelle elementari che si trovano nell’universo! Perciò dovremmo sviluppare un linguaggio in grado di esprimere caratteristiche essenziali degli spazi, i cosiddetti invarianti metrici. Dopodiché, potremmo confrontare gli spazi sulla base di questi invarianti.

Non esiste una ricetta universale per creare tale linguaggio. Noi tentiamo ogni strada, attingendo liberamente dall’intuizione geometrica basata sulla nostra esperienza dello spazio tridimensionale. Ciò ci permette una buona partenza, ma abbiamo ancora molta strada da percorrere.

Il secondo esempio riguarda la geometria simplettica, piuttosto che quella metrica. La geometria simplettica si presenta negli spazi di fase dei sistemi meccanici privi di attrito, come ad esempio il sistema di tre corpi celesti: il Sole, la Terra e la Luna. Essi sono governati dalle leggi di Newton, secondo cui l’evoluzione futura è determinata dalla posizione e dalla velocità dei tre corpi in un dato momento. Dunque lo spazio in questione è a 18 dimensioni, poiché ogni punto corrisponde a una configurazione di posizioni e velocità possibili dei tre corpi. Le leggi di Newton possono essere codificate in una particolare trasformazione di questo spazio: a ogni punto ne corrisponde un altro, conformemente a ciò che accade ai corpi dopo un movimento della durata di un secondo governato dalle leggi di Newton. Questa trasformazione altera ogni distanza immaginabile nello spazio, e non è assolutamente un “movimento rigido” dello spazio a 18 dimensioni. E tuttavia, preserva qualcosa di diverso, che noi chiamiamo struttura simplettica. Essa, diversamente dalla distanza associata all’idea della lunghezza di un percorso, è collegata all’area di superfici nel nostro spazio a 18 dimensioni, benché non si tratti della consueta nozione di area, e sia virtualmente impossibile dare un’immagine intuitiva della struttura simplettica, in quanto essa non si rivela veramente in uno spazio con meno di quattro dimensioni. Nonostante ciò, noi vogliamo determinare invarianti simplettici, che cioè siano preservati dalla trasformazione poc’anzi descritta, in quanto potrebbero fornirci informazioni preziose sui sistemi meccanici. A questo proposito, l’analisi complessa ci viene inaspettatamente in aiuto: l’equazione di Cauchy-Riemann può essere “impiantata” sul terreno simplettico, e da essa si può infine raccogliere una messe di invarianti simplettici. Si tratta di un gioco puramente matematico, che si sottrae a una spiegazione intuitiva e al semplice buon senso. Tuttavia, la conclusione che se ne trae si rivela utile in diversi rami della geometria, in particolare nella geometria algebrica e nella fisica matematica legata alla teoria delle stringhe e dei campi conformi.

Ciò che vi ho presentato, non sono che due degli innumerevoli rami verdi del gigantesco albero della matematica. Noi tutti, matematici e scienziati, che abbiamo a cuore la crescita di questo albero, cerchiamo nuove strade da percorrere e nuove sfide da affrontare, e non ci stanchiamo di abbracciare nuove idee, cercando di svelare la struttura logica ad esse sottesa.

Credo che la buona salute di questo albero sia indispensabile a una società civile che desideri dare un senso alla propria vita, e sono molto lieto di ricevere il Premio della Fondazione Balzan, che così condivide questo punto di vista, nonché il ruolo e il significato della nostra scienza.